Самый большой инфинити: Самый большой внедорожник Infiniti обновился

Просмотров: 64

Начиная с 1 апреля 2020-го глобальная штаб-квартира Infiniti функционирует из нового офиса в японской Йокогаме, куда она переехала из Гонконга

Этот шаг – начало очередной главы истории бренда – наглядно подчеркивает истинно японские корни INFINITI как премиального бренда в системе Nissan Motor Corporation.

Кроме того, компания INFINITI приняла решение сконцентрировать силы на рынках, где бренд может рассчитывать на максимальную эффективность и максимальную прибыльность. Именно поэтому было принято решение покинуть Европейский регион, и сосредоточиться на продвижении в Северной Америке, Китае, России, на Ближнем Востоке, а также в Азиатско-Тихоокеанском регионе. Поскольку для компании важно не общее количество охваченных рынков, а их качество. Это поможет INFINITI эффективнее использовать ресурсы для дальнейшего продвижения и роста.

В рамках глобального процесса повышения эффективности производства, будущая модельная линейка INFINITI будет использовать возможности общих платформ Nissan Motor Company. При этом все автомобили бренда будет разрабатываться по уникальным премиальным стандартам, которые вправе ожидать наши клиенты.

Nissan Motor Company подтверждает приверженность к дальнейшему успешному развитию INFINITI как неординарного, яркого премиального бренда в структуре компании. Использование общих платформ — это совершенно обычная практика в автомобильном бизнесе. Более того, именно подобная стратегия позволяет процветать самым успешным игрокам рынка. Для INFINITI переход на общие платформы это прежде всего возможность уделить больше внимания созданию истинно люксовых автомобилей: максимально высокотехнологичных и изысканных в плане дизайна и технологий, истинно уникальных и не похожих на продукты Nissan Motor Company.

Руководство компании верило и продолжает верить в успех INFINITI, осознавая важность премиального бренда в фирменном портфолио. Как и все в бизнесе мы стремимся найти лучших людей на каждый пост, на каждую вакансию в компании. Пейман Каргар приносит с собой абсолютно беспроигрышную комбинацию опыта, умения и экспертизы, которые помогут вывести INFINITI на новый уровень.

Новый глава бренда Пейман Каргар благодаря его более чем 23-летнему стажу работы в автомобильной индустрии обладает идеальным бэкграундом, умениями и опытом для того, чтобы начать новую главу успеха в истории INFINITI.

Nissan Motor Company считает бренд INFINITI неотъемлемой частью своего нового плана трансформации. Уже в этом году начнется процесс запуска новой модельной линейки бренда. Первой новинкой станет кроссовер-купе INFINITI QX55, в дизайне которого читаются отсылки к легендарному кроссоверу FX – одной из важнейших моделей в истории бренда. Самый популярный в нынешней линейке бренда кроссовер QX60 уже в скором времени переживет смену поколений.

Частью новой стратегии INFINITI станет значительно усовершенствованная технология e-POWER. Она будет доступна только клиентам нашего бренда наравне с другими более традиционными вариантами силовых установок. INFINITI разрабатывает уникальную премиум-версию технологии Nissan e-POWER, которая отличается повышенной мощностной отдачей и заметно более низким уровнем шума.

Основываясь на пожеланиях клиентов бренда, в INFINITI пересмотрели стратегию в плане силовых агрегатов для будущих моделей. Руководствуясь стратегией устойчивого роста, мы ориентируемся на силовые установки e-POWER как решения проблемы электрификации ближайшего будущего. В то же время 100-процентные электромобили отложены на дальнейшую перспективу.

Как и прежде главная задача INFINITI это обеспечить клиентов бренда незабываемым опытом владения исключительными автомобилями и всеми сопутствующими этому сервисами. Наши успехи традиционно подтверждает и высокий рейтинг ассоциации J.D. Power, в котором по итогам 2019 года INFINITI заняла почетную позицию в 1-ой пятерке лидеров.

Как считать до бесконечности

Нет самого большого, последнего числа… кроме бесконечности. Вот только бесконечность — это не число. Но одни бесконечности буквально больше других. Давайте посетим некоторые из них и посчитаем мимо них.

Привет, Vsauce! Майкл здесь.

Какое самое большое число вы можете придумать? Гугол? Гуголплекс? Миллион-миллионный комплекс? На самом деле самое большое число — 40.

Покрывая более 12000 квадратных метров Земли, эти 40, сделанные из стратегически посаженных деревьев в России, больше, чем маркеры батальона на Сигнал-Хилл в Калгари, 6 на значках Фованта в Англии — даже миля пи Брэди развернулся на Numberphile.40 — это самое большое число… на Земле с точки зрения площади поверхности.

Но с точки зрения количества вещей, которое мы обычно подразумеваем под «большим» числом, 40, вероятно, не самое большое. Например, 41. А потом еще 42, 43… миллиард, триллион; знаете, независимо от того, насколько большое число вы можете придумать, вы всегда можете подняться выше.

Значит, нет самого большого, последнего числа… кроме бесконечности? Нет. Бесконечность — это не число. Вместо этого это своего рода число. Вам нужны бесконечные числа, чтобы говорить о бесконечных количествах и сравнивать их, но некоторые бесконечные числа — некоторые бесконечности — буквально больше других.Давайте посетим некоторые из них и посчитаем мимо них.

Обо всем по порядку. Когда число относится к количеству вещей, оно называется «кардинальным числом». Например, 4 банана. 12 флагов. 20 точек. 20 — это «количество элементов» этого набора точек. Итак, два набора имеют одинаковую мощность, если они содержат одинаковое количество вещей. Мы можем продемонстрировать это равенство, сопоставляя каждый член одного набора один к одному с каждым членом другого. Такая же мощность, довольно просто.

Мы используем натуральные числа, то есть 0, 1, 2, 3, 4, 5 и так далее, в качестве кардиналов всякий раз, когда мы говорим о том, сколько всего существует вещей, но сколько там натуральных чисел? Это не может быть какое-то натуральное число, потому что после него всегда будет 1 плюс это число.Вместо этого для этой суммы есть уникальное название: ‘aleph-null’ (ℵ ₀ ). Алеф — первая буква еврейского алфавита, а алеф-нуль — первая наименьшая бесконечность. Это количество натуральных чисел. Это также количество четных и нечетных чисел; это также количество рациональных чисел, то есть дробей. Это может показаться удивительным, поскольку дроби на числовой прямой появляются более многочисленными, но, как показал Кантор, есть способ расположить каждое возможное рациональное число так, чтобы натуральные числа можно было поставить в соответствие с ними один к одному.У них одинаковая мощность.

Дело в том, что aleph-null — это большая сумма; больше любой конечной суммы. Гугол, гуголплекс, гуголплекс, факториал мощности гуголплекса до гуголплекса, умноженный на число Грэма? Алеф-нуль больше. Но мы можем рассчитывать дальше. Как? Что ж, возьмем нашего старого друга, суперзадачу. Если мы нарисуем кучу линий и сделаем каждую следующую линию равной доле размера и доле расстояния от каждой последней линии, мы сможем уместить бесконечное количество линий в ограниченное пространство.Количество строк здесь равно количеству имеющихся натуральных чисел. Эти два могут быть сопоставлены один к одному. Всегда есть следующая естественная, но всегда есть следующая строка. Оба набора имеют мощность aleph-null.

Но что происходит, когда я это делаю? Сколько там строк? Алеф-нуль плюс один? Нет. Бесконечные суммы — это не конечные суммы. Здесь все еще есть только строки aleph-null, потому что я могу сопоставить натуральные значения один к одному, как и раньше. Я просто начинаю здесь, а потом продолжаю с самого начала.Очевидно, количество строк не изменилось. Я даже могу добавить еще две строки, еще три, еще четыре — я всегда получаю только нулевые значения aleph. Я даже могу добавить еще один бесконечный алеф-нуль строк и все равно не менять количество. Каждое четное число может сочетаться с ними, а каждое нечетное число — с ними. На каждый натуральный еще есть своя линия.

Еще один отличный способ увидеть, как эти линии не прибавляются к общему количеству, — это показать, что вы можете сделать ту же последовательность, вообще не рисуя новые линии. Просто возьмите каждую вторую строчку и сдвиньте их все вместе до конца.Это то же самое.

Но подожди секунду. В этом и этом может быть одинаковое количество вещей, но явно в них есть что-то другое, не так ли? Я имею в виду, если дело не в том, из чего они сделаны, то из чего? Что ж, давайте вернемся к одной строке после коллекции нулевого размера aleph. Что, если вместо того, чтобы сопоставить натуральные числа один к одному, мы будем настаивать на нумерации каждой строки в соответствии с порядком, в котором она была нарисована? Итак, мы должны начать отсюда и пронумеровать слева направо. Итак, какой номер у этой строки? В царстве бесконечности обозначение вещей по порядку сильно отличается от их подсчета.Видите ли, эта линия не вносит вклад в общую сумму, но для того, чтобы обозначить ее в соответствии с порядком, в котором она появилась, нам нужен набор меток чисел, выходящий за пределы натуральных. Нам нужны порядковые номера.

Первый трансконечный порядковый номер — это омега (ω), строчная греческая буква омега. Это не шутка или уловка, это буквально следующий ярлык, который вам понадобится после использования бесконечного набора каждого отдельного счетного числа. Если вы заняли ω-е место в гонке, это означало бы, что бесконечное количество людей финишировали, а вы это сделали.После ω идет ω + 1, которое на самом деле не похоже на число, но это точно так же, как 2, 12 или 800. Затем идет ω + 2, ω + 3… порядковые числа обозначают элементы по порядку. Порядковые значения не говорят о том, сколько вещей есть, вместо этого они говорят нам, как эти предметы расположены — их тип порядка.

Тип заказа набора — это просто первый порядковый номер, который не требуется для обозначения всего в наборе по порядку. Таким образом, для конечных чисел мощность и тип заказа одинаковы. Порядковый тип всех натуральных чисел — ω.Порядковый тип этой последовательности — ω + 1, теперь это ω + 2. Независимо от того, какой длины становится аранжировка, если она хорошо упорядочена, если каждая ее часть содержит начальный элемент, все это описывает новый порядковый номер. Всегда. Это будет очень важно позже.

Здесь следует отметить, что если вы когда-либо играете в игру о том, кто может назвать наибольшее число, и вы думаете о том, чтобы сказать «омега плюс один», будьте осторожны. Ваши оппоненты могут потребовать, чтобы число, которое вы называете, было кардиналом, относящимся к сумме.Эти числа относятся к одному и тому же количеству вещей, но расположены по-разному. ω + 1 не больше ω, а просто идет после ω.

Но aleph-null — это еще не конец. Почему? Ну, потому что можно показать, что есть бесконечности больше, чем aleph-null, которые буквально содержат больше вещей. Один из лучших способов сделать это — использовать диагональный аргумент Кантора. В моем эпизоде ​​о парадоксе Банаха-Тарского я использовал его, чтобы показать, что количество действительных чисел больше, чем количество натуральных чисел. Но для целей этого видео давайте сосредоточимся на другом, более важном, чем aleph-null: наборе мощности aleph-null.

Набор мощности набора — это набор всех различных подмножеств, которые вы можете сделать из него. Например, из набора 1 и 2 я могу сделать набор из ничего, или 1, или 2, или 1 и 2. Набор мощности 1,2,3: пустой набор, 1 и 2, и 3, и 1, и 2, и 1, и 3, и 2, и 3, и 1,2,3. Как видите, набор мощности содержит намного больше элементов, чем исходный набор. Двое в количестве, равном количеству участников первоначального набора, если быть точным. Так в чем же сила всего естественного?

Ну что ж, посмотрим.Представьте себе список всех натуральных чисел. Прохладный. Теперь подмножество всех, скажем, четных чисел будет выглядеть так: да, нет, да, нет, да, нет и так далее. Подмножество всех нечетных чисел будет выглядеть так. Вот подмножество только 3, 7 и 12. А как насчет каждого числа, кроме 5. Или никакого числа, кроме 5. Очевидно, что этот список подмножеств будет, ну, ну, бесконечным. Но представьте, что сопоставьте их все один к одному с натуральным. Если даже тогда есть способ продолжать создавать новые подмножества, которые явно нигде здесь не перечислены, мы будем знать, что у нас есть набор с большим количеством членов, чем натуральных чисел — большая бесконечность, чем aleph-null.

Способ сделать это — начать здесь, в первом подмножестве, и просто делать противоположное тому, что мы видим. 0 является членом этого подмножества, поэтому наш новый набор не будет содержать 0. Затем переместитесь по диагонали вниз к членству 1 во втором подмножестве. 1 является его участником, поэтому его не будет в нашем новом. 2 не входит в третье подмножество, поэтому будет в нашем и так далее. Как видите, мы описываем подмножество, которое по определению будет отличаться по крайней мере одним способом от всех остальных подмножеств в этом списке нулевого размера aleph.Даже если мы вернем это новое подмножество, диагонализацию все равно можно будет провести.

Набор силы натуральных всегда будет сопротивляться взаимно однозначному соответствию с натуралами. Это бесконечность больше, чем aleph-null. Повторное применение набора мощности приведет к созданию наборов, которые нельзя сопоставить один-к-одному с последним, так что это отличный способ быстро создавать все большие и большие бесконечности. Дело в том, что после aleph-null больше кардиналов. Попробуем до них дотянуться.

Теперь вспомните, что после ω порядковые числа разделяются, и эти числа больше не являются кардиналами.Они не говорят о большей сумме, чем последний кардинал, которого мы достигли, но, возможно, они могут привести нас к одному. Подождите … что мы делаем? Алеф-нуль? Омега? Да ладно, мы использовали эти числа, как будто проблем нет, но если в какой-то момент здесь вы всегда можете добавить один — всегда — можем ли мы действительно поговорить об этом, об этом бесконечном процессе, в целом, а затем проследить его с помощью что-нибудь?

Конечно, можем. Это математика, а не наука! То, что мы считаем истинным в математике, называется аксиомой, и аксиома, которую мы придумываем, вряд ли окажется верной, если она лучше объясняет или предсказывает то, что мы наблюдаем.Напротив, это правда, потому что мы так говорим. Его последствия просто становятся тем, что мы наблюдаем. Мы не подгоняем наши теории под какую-то физическую вселенную, поведение которой и лежащие в основе законы были бы такими же, были бы мы здесь или нет; мы сами создаем эту вселенную. Если аксиомы, которые мы объявляем истинными, приводят нас к противоречиям или парадоксам, мы можем вернуться и исправить их, или просто отказаться от них, или мы можем просто отказаться позволить себе делать то, что вызывает парадоксы. Это оно.Что удивительно, так это то, что, чтобы убедиться, что принятые нами аксиомы не приводят к проблемам, мы превратили математику в нечто, что, как говорится, «неоправданно эффективно в естественных науках». Так что в какой степени мы все это изобретаем или открываем — сказать сложно. Все, что нам нужно сделать, чтобы получить ω, — это сказать «да будет омега», и все будет хорошо.

Именно это сделал Эрнест Цермело в 1908 году, когда включил Аксиому бесконечности в свой список аксиом для математических занятий.Аксиома бесконечности — это просто заявление о существовании одного бесконечного множества — множества всех натуральных чисел. Если вы отказываетесь принять это, это нормально — это делает вас финитистом, тем, кто верит, что существуют только конечные вещи. Но если вы примете это, как это делает большинство математиков, вы можете пойти довольно далеко — мимо них, и через эти… в конце концов, мы дойдем до ω + ω, за исключением того, что мы достигли другого потолка. Полностью перейти к ω + ω означало бы создать еще одно бесконечное множество, а аксиома бесконечности только гарантирует, что это существует.

Придется ли нам добавлять новую аксиому каждый раз, когда мы будем описывать числа aleph-null-more? Нет. Аксиома замещения может нам здесь помочь. Это предположение гласит, что если вы возьмете набор — например, набор всех натуральных чисел — и замените каждый элемент чем-то другим, например, бананами, то то, что у вас останется, также будет набором. Звучит просто, но невероятно полезно. Попробуйте следующее: возьмите каждый порядковый номер до ω, а затем вместо бананов поставьте перед каждым «ω +». Теперь мы достигли ω + ω или ω × 2.Используя замену, мы можем делать прыжки любого размера, какого захотим, при условии, что мы используем только те числа, которые уже достигли. Мы можем заменить каждый порядковый номер до ω на омега, умноженный на него, чтобы получить ω × ω, ω ² . Готовим! Аксиома замены позволяет нам бесконечно конструировать новые ординалы. В конце концов мы переходим к ω, к ω, к ω, к ω, к ω… и у нас заканчиваются стандартные математические обозначения. Без проблем! Это просто называется «эпсилон-ноль» (ε ₀ ), и мы продолжим отсюда.

Но теперь подумайте обо всех этих ординалах. Все разные способы расставить aleph-null вещи. Ну, они хорошо упорядочены, поэтому у них есть тип заказа — некоторый порядковый номер, который идет после всех них. В данном случае этот порядковый номер называется «омега-он» (ω1). Поскольку, по определению, ω ₁ следует после каждого отдельного типа заказа или элементов, не имеющих значения aleph-null, оно должно описывать расположение буквально большего количества вещей, чем последний aleph. Я имею в виду, если бы этого не было, это было бы где-то здесь, но это не так.Кардинальное число, описывающее количество вещей, используемых для заключения сделки с видом заказа ω ₁ , — «алеф-один» ( ₁ ).

Неизвестно, где на этой линии находится набор мощности натуральных чисел. Между этими кардиналами быть не может, потому что между ними нет кардиналов. Это могло быть равносильно алеф-ону — это убеждение называется гипотезой континуума. Но он мог быть и больше; мы просто не знаем. Между прочим, гипотеза континуума, вероятно, является величайшим оставшимся без ответа вопросом во всей этой теме, и сегодня, в этом видео, я не буду его решать, но я буду подниматься все выше и выше, к все большей и большей бесконечности.

Теперь, используя аксиому замены, мы можем взять любой порядковый номер, который мы уже достигли, например, ω, и перепрыгнуть от алеф к алефу, а затем полностью перейти к алеф-омеге. Или, черт возьми, почему бы не использовать более крупный порядковый номер, такой как ω ² , для построения квадрата алеф-омега? Алеф-омега-омега-омега-омега-омега-омега-о … Наша нотация позволяет мне добавлять сюда только счетное количество омег, но замену не волнует, есть ли у меня способ записать достигаемые числа. Где бы я ни приземлился, будет место еще большего количества прыжков, что позволит мне совершать еще более крупные и многочисленные прыжки, чем раньше.Все это — дико ускоряющаяся петля обратной связи зарождения. Мы можем продолжать идти так, достигая все больших и больших бесконечностей снизу.

Замена и повторяющиеся наборы мощности, которые могут совпадать, а могут и не совпадать с алефами, могут поддерживать наше восхождение вечно. Так очевидно, что кроме них ничего нет, верно? Не так быстро. Вот что мы говорили о переходе от конечного к омеге. Почему бы не принять в качестве аксиомы, что существует следующее число, настолько большое, что никакие замены или настройки мощности на что-то меньшее не смогут вас туда доставить.Такое число называется «недоступным кардиналом», потому что его нельзя достать снизу.

Интересно, что среди уже достигнутых цифр можно найти тень такого числа: aleph-null. Вы также не можете набрать этот номер снизу. Все числа меньше этого конечны, и конечное количество конечных чисел не может быть добавлено, умножено, возведено в степень, заменено конечными скачками конечное количество раз или даже может быть установлено конечное количество раз, чтобы дать вам что-либо, кроме другого конечного числа. количество.Конечно, набор мощности от миллимиллиона до гуголплекса, от гуголплекса до гуголплекса действительно велик, но все же ограничен. Даже близко к aleph-null, первой наименьшей бесконечности. По этой причине aleph-null часто считается недоступным числом. Некоторые авторы этого не делают, говоря, что недоступное также должно быть бесчисленным, что, хорошо, имеет смысл — я имею в виду, что мы уже получили доступ к aleph-null, но помните, что единственный способ, которым мы могли бы это сделать, — это прямо объявить его существование аксиоматически.Придется поступить так же с недоступными кардиналами.

Трудно понять, насколько непостижимы размеры недоступного кардинала. Я просто остановлюсь на этом: концептуальный прыжок из ничего в первую бесконечность подобен прыжку из первой бесконечности в недоступное. Теоретики множеств описали числа больше, чем недоступные, каждое из которых требует новой аксиомы большого кардинала, утверждающей его существование, увеличивая высоту нашей вселенной чисел. Придет ли когда-нибудь момент, когда мы разработаем аксиому, подразумевающую существование такого множества вещей, что она подразумевает противоречивые вещи? Сможем ли мы когда-нибудь ответить на гипотезу континуума? Может быть, и нет, но есть многообещающие направления, и до тех пор остается удивительным фактом, что многие из этих бесконечностей — возможно, все они — настолько велики, что не совсем ясно, действительно ли они существуют или могут быть показаны в физическая вселенная.Если они это сделают, если однажды физика найдет им применение, это прекрасно, но если нет, то тоже отлично. Это означало бы, что мы с этим мозгом, крошечной вещью, в септиллион раз меньше, чем крошечная планета, на которой она живет, открыли нечто истинное за пределами физического царства. Что-то, что применимо к реальному миру, но также достаточно сильное, чтобы пойти дальше, за пределы того, что может содержать или показать нам сама вселенная, или чем она может быть.

И как всегда спасибо за просмотр.

Еще один интересный факт о трансконечных ординалах состоит в том, что арифметика с ними немного отличается.Обычно 2 + 1 то же самое, что 1 + 2, но ω + 1 не то же самое, что 1 + ω. Один плюс омега на самом деле просто омега. Думайте о них как о типах заказов: одна вещь, размещенная перед омегой, просто использует все натуральные ингредиенты и оставляет нам тип заказа омега. Одна вещь, помещенная после омеги, требует каждого натурального числа, а затем омега, в результате чего в качестве типа заказа остается омега плюс один.

Различные размеры бесконечности

Infinity — мощная концепция. Философы, художники, богословы, ученые и люди из всех слоев общества боролись с идеями бесконечного и вечного на протяжении всей истории.

Бесконечность также является чрезвычайно важным понятием в математике. Бесконечность проявляется почти сразу при работе с бесконечно большими наборами — бесконечными наборами чисел, таких как натуральные числа или счетные числа: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее.

Однако не все бесконечные наборы созданы равными. На самом деле существует множество различных размеров или уровней бесконечности; некоторые бесконечные множества намного больше других бесконечных множеств.

Теория бесконечных множеств была разработана в конце девятнадцатого века блестящим математиком Георгом Кантором. Многие идеи и теоремы Кантора лежат в основе современной математики. Одним из самых крутых нововведений Кантора был способ сравнить размеры бесконечных множеств и использовать эту идею, чтобы показать, что существует множество бесконечностей.

Чтобы увидеть, как работает теория Кантора, мы начнем с утверждения, что два множества имеют одинаковый размер, если мы можем сделать взаимно однозначное соответствие или объединить элементы этих двух множеств.Мы можем начать с малого — наборы {a, b, c} и {1, 2, 3} имеют одинаковый размер, поскольку я могу объединить их элементы в пары:

Это немного сложно для сравнения двух небольших конечных множеств, подобных этим — очевидно, что они оба имеют по три элемента и поэтому имеют одинаковый размер.Однако, когда мы смотрим на бесконечные наборы, мы не можем просто смотреть на наборы и подсчитывать количество элементов, поскольку наборы продолжаются бесконечно. Так что это более формальное определение будет очень полезным.

Наш базовый уровень бесконечности будет происходить из нашего самого основного бесконечного множества: ранее упомянутых натуральных чисел. Множество того же размера, что и натуральные числа, которое можно поставить во взаимно однозначное соответствие с натуральными числами, называется счетно бесконечным множеством.

Удивительное количество бесконечных множеств на самом деле можно сосчитать. На первый взгляд, набор целых чисел, состоящий из натуральных чисел, их отрицательных аналогов и нуля, выглядит так, как будто он должен быть больше натуральных чисел. В конце концов, для каждого натурального числа, например 2 или 10, мы просто добавили отрицательное число, -2 или -10. Но целые числа счетны — мы можем найти способ присвоить каждому натуральному числу ровно одно целое число, переключаясь между положительными и отрицательными числами:

Если мы продолжим схему, предложенную выше, мы в конечном итоге присвоим каждому натуральному числу ровно одно целое число, причем каждое целое число будет присвоено натуральному числу, что даст нам вид пары один к одному, что означает, что два набора имеют одинаковый размер.

Это немного странно, поскольку натуральные числа являются подмножеством целых чисел — каждое натуральное число также является целым числом. Но даже несмотря на то, что натуральные числа полностью содержатся в целых числах, два набора на самом деле имеют одинаковый размер.

Рациональные числа — это числа, которые можно записать в виде дроби или отношения двух целых чисел: 1/2, -5/4, 3 (что можно записать как 3/1) и т.п. Это еще один бесконечный набор, который выглядит так, как будто он должен быть больше, чем натуральные числа — между любыми двумя натуральными числами у нас бесконечно много дробей.

Но, как и в случае с целыми числами, мы все еще можем составить пару один к одному, присвоив каждому рациональному числу ровно одно натуральное число. Начните с создания сетки рациональных чисел: каждая строка имеет конкретное натуральное число в нижней части дроби — знаменатели первой строки — все единицы, а второй строки — все двойки. У каждого столбца есть определенный номер в верхней части дроби — числители первого столбца — все единицы, а второго столбца — все двойки. Эта сетка покрывает все положительные рациональные числа, так как любое соотношение двух положительных целых чисел будет отображаться где-то в сетке:

Мы получаем соответствие между рациональными и натуральными числами, зигзагообразно перемещаясь по сетке и считая.Такие дроби, как 2/2 и 4/6, которые являются просто альтернативными представлениями чисел, которые мы уже видели (2/2 — то же самое, что 1/1, а 4/6 — то же самое, что 2/3) пропускаются:

Итак, первое рациональное число — 1/1, второе — 2/1, третье — 1/2, четвертое — 1/3, мы пропускаем 2/2, так как это просто сокращается до 1/1, пятое — 3/1 и так далее.

В этом случае каждому рациональному числу будет присвоено уникальное натуральное число, показывая, что, как и целые числа, рациональные числа также являются счетно бесконечным множеством.

Несмотря на то, что мы добавили все эти дроби и отрицательные числа к нашему исходному базовому набору натуральных чисел, мы все еще находимся на нашем первом, базовом уровне бесконечности.

Теперь рассмотрим действительные числа. Настоящие числа — это набор чисел, которые можно записать с помощью некоторого десятичного разложения.К действительным числам относятся рациональные числа — любую дробь двух целых чисел можно разделить и превратить в десятичную. 1/2 = 0,5 и 1/3 = 0,3333 …, причем последнее всегда продолжается с тройками. Реальные числа также включают иррациональные числа или десятичные дроби, которые продолжаются бесконечно, не переходя в повторяющийся узор или окончание. π иррационально — его десятичное расширение начинается со знакомого числа 3,14159 … но продолжается бесконечно, его цифры дико меняются.

Мы смогли придумать хитроумные соответствия натуральных чисел для целых и рациональных чисел, показав, что все они счетно бесконечны и одинакового размера.Учитывая это, мы можем подумать, что можем сделать что-то подобное с реальными числами.

Однако это невозможно. Действительные числа представляют собой несчетное бесконечное множество — на самом деле реальных чисел намного больше, чем натуральных, и нет способа выровнять действительные и натуральные числа так, чтобы мы присваивали каждому натуральному числу ровно одно действительное число.

Чтобы убедиться в этом, мы используем чрезвычайно мощный математический прием: доказательство от противного. Мы начнем с гипотезы, что верно противоположное нашему утверждению — действительные числа счетно бесконечны, и поэтому есть способ выровнять все действительные числа с натуральными числами во взаимно однозначном соответствии.Мы увидим, что не имеет значения, как именно выглядит это соответствие, поэтому предположим, что первые несколько пар в корреспонденции следующие:

Мы предполагаем, что каждое действительное число находится где-то в этом списке.Теперь мы собираемся показать, что это на самом деле неправильно, создав новый номер, который не отображается в списке.

Для каждого натурального числа n мы смотрим на соответствующее действительное число в списке и ставим цифру n разрядов справа от десятичной точки действительного числа. Итак, возьмите первую цифру первого числа, вторую цифру второго числа, третью цифру третьего числа и так далее:

Из нашего первого действительного числа мы получаем 5, второе число — 3, а третье — 1.Мы составляем новое число, взяв каждую из этих цифр и добавив к ним 1 (перевернув на 0, если моя исходная цифра 9), получив число 0,64207 …, продолжая для всех остальных чисел в нашем списке. .

Это новое «диагональное» число определенно является действительным числом — оно имеет десятичное расширение. Но он отличается от всех чисел в списке: его первая цифра отличается от первой цифры нашего первого числа, его вторая цифра отличается от второй цифры нашего второго числа и так далее.

Мы создали новый реальный номер, которого нет в нашем списке. Это противоречит нашему основному предположению о том, что каждое действительное число встречается где-то в корреспонденции.

Ранее мы упоминали, что детали переписки значения не имеют. Это связано с тем, что независимо от того, какое выравнивание мы пытаемся найти между действительными числами и натуральными числами, мы можем проделать тот же диагональный трюк, описанный выше, создав число, которое не отображается в корреспонденции.

Это показывает, что действительные числа не бесконечны. Независимо от того, что мы пытаемся сделать, невозможно составить пары натуральных и действительных чисел один к одному. Эти два набора не одинакового размера. Это приводит к глубокому и несколько неудобному осознанию того, что должно быть несколько уровней бесконечности — натуральные числа и действительные числа являются бесконечными множествами, но действительные числа образуют множество, которое намного больше, чем натуральные числа — они представляют некий «более высокий уровень». «бесконечности.

Какое число больше всего и закончатся ли они когда-нибудь?

Какое самое большое число вы можете придумать?

Миллиард? Триллион? Квадриллион? Секстиллион? Тредециллион? Гугол? Гуголплекс?

Есть школьная шутка о том, что бесконечность + 1 — самое большое число из существующих. 4) равно 10x10x10x10 или 10,000, и эта степень продолжала увеличиваться, пока Архимед не нашел свое число.8

Это единица, за которой следует 80 квадриллионов нулей.

В качестве ориентира, говорят, что в наблюдаемой Вселенной находится где-то между 10 ⁷⁸ и 10 ⁸² атомов, что составляет тредециллион (10 ⁷⁸ ) или чуть больше.

Число атомов во Вселенной даже не 0,1% от числа Зверя.

Несмотря на то, что во Вселенной больше чисел, чем атомов, попытки доказать, что ваше целое число больше, чем любое другое целое число, продолжались веками.100 .

Чтобы показать, насколько нелепо это число, математик Вольфганг Х. Ницше начал выпускать книги, пытаясь его записать.

Ему потребовалось 10 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 томов книги, чтобы полностью отобразить количество нулей.

Но он это сделал (хотя мы предполагаем, что у него было много автоматизированной помощи, мы просили).

Даже тогда существует большее число, значение которого никто не знает:

Число Грэма занесено в Книгу рекордов Гиннеса как самое большое конкретное целое число, использованное в опубликованном математическом доказательстве.

Это решение проблемы теории Рамсея вокруг n-мерного гиперкуба (если вы хоть раз понимаете этот крошечный кусочек теории, у вас дела обстоят лучше, чем у нас).

Число Грэма делится на 3 и заканчивается на 7, его последние 12 цифр равны 262464195387, но оно не может быть выражено стандартным способом и слишком велико, чтобы его можно было вычислить полностью.

Но проблема с любыми из этих чисел в том, что они не «санкционированы» и на самом деле не так полезны в повседневной математике или измерениях.

Большой разговор идет о том, какие «полезные» номера следует называть и кто должен отвечать за их наименование.

Название гугола (10 ¹⁰⁰ ) впервые придумал девятилетний племянник математика столетие назад.

«Вы можете придумывать любые имена, но официальные имена разрешены в соответствии с тем, что мы называем соглашением о счетчиках», — сказал Metro.co.uk д-р Ричард Браун, глава метрологии NPL, Национального института измерений Великобритании.

«Это межправительственный договор, в котором государства-члены согласовывают единицы измерения».

Международный комитет мер и весов (CIPM) собирается раз в четыре года и отвечает за то, что дает точный ответ на такие вопросы, как «сколько весит килограмм?»

Определение килограмма было изменено на последней встрече на высшем уровне.

Большие числа используются в математике, но CIPM больше ориентирован на использование в реальном мире:

Международная система измерений распознает килограммы (1000), мега (1 метр), гиг (1 миллиард), тера (1 трлн), пета (10 ¹⁵ ), exa (10 ¹⁸ ), дзетта (10 ²¹ ) и yotta (10 ²⁴ ) в качестве префиксов.

Эти префиксы можно использовать перед любым измерением — километр, мегаметр, например, — но большинство понимает их из байтов вычислений (мегабайт, гигабайт).

И, как считает доктор Браун, нам может понадобиться нечто большее:

«Появление таких вещей, как квантовые вычисления, скоро переместит нас на стадию, когда нам понадобится нечто, превышающее йоттабайт.

«Исторически сложилось так, что эти числа увеличиваются в десяти в степени трех, поэтому следующее будет 10 в степени 27.’

В Интернете уже много имен путешествуют по поводу того, чем может быть этот новый префикс:

Xenottabyte? Шилентнобайт? Domegemegrottebyte? Бронтобайт? Геобайт?

Все они искренние предложения.

Студент из Калифорнии предложил «хелла» в 2010 году в качестве префикса для 10 ²⁷ и получил тысячи подписей для онлайн-петиции, но это, как и любые другие вышеперечисленные, никогда не попадали в CIPM

Доктор Браун, с другой стороны, уже представил официальный документ, ожидающий обсуждения.

Используя греческие и латинские произведения для девяти (ennea, novem) и 10 (deka, decem) для вдохновения, он проделал свой путь назад в алфавите ( z etta, y otta), чтобы прийти к буквам, которые не были б / у

• Ronna — для обозначения 10 ²⁷ или 1000 ⁹
• Quecca — для обозначения 10 ³⁰ или 1000 ¹⁰

Доктор Браун говорит, что это только начало дискуссии о том, как мы определяем большие числа.

И это не просто разговор о том, как их называть, а о том, что необходимость в приставках для больших ценностей означает для повседневной жизни.

Пол Сондереггер назвал всю эту дискуссию «проблемой любых байтов» и считает ее неуместной по сравнению с реальной проблемой:

«У нас не только нет названия для этого объема данных, мы не знаем, как говорить о его последствиях», — сказал Сондереггер Forbes.

По оценкам, как обсуждалось ранее в серии Future Of Everything, размер мозга составляет до 2.5 петабайт.

Если это так, то одного йоттабайта хватит примерно на 400 миллионов мозгов.

В одном роннабайте, или как его в конце концов назовут, хватит места примерно для 4 миллиардов мозгов.

В одном квеккабайте было бы более чем достаточно места для всех знаний каждого человека, который когда-либо родился.

«Йоттабайт (10 ²⁴ ) по-прежнему является огромным размером, но он все еще конечен, и мы имеем дело с практическими измерениями, а не с теоретической математикой», — говорит доктор Браун.

«Мы всегда ограничены размером вещей, которые мы можем измерить.

«Мы никогда не собираемся иметь дело с такими большими вещами, как числа Зверя, гуглы и тому подобное».

В то время как этта / йотта / что-либо спорят часто вокруг байтов, CIPM фактически не распознает байт как физическое измерение, поскольку у него нет размера.

«Фактически, он находится вне Международной системы единиц», — говорит д-р Браун.

«Очевидно, что это то, что мы должны учитывать, потому что люди в области вычислений используют наши префиксы, и мы должны помнить об этом.

«Но биты и байты — это не физические единицы, а математические объекты».

Ученые, с другой стороны, больше озабочены тем, что делают числа, а не тем, как они называются:

«Я не знаю никого, кто использовал бы гуголплекс», — говорит д-р Саймон Фостер, физик-гелиофизик Имперского колледжа в Лондоне

«Мои коллеги, изучающие масштаб Вселенной, никогда не сталкивались с проблемами с числами. -3) будет 1/10/10/10 или 0.001.

Но все эти цифры существуют уже давно.

Если будут приняты новые термины для 10 ²⁷ (ronna) и 10 ³⁰ (quecca), они станут первыми новыми префиксами с 1991 года.

Следующей возможностью будет встреча в 2022 году, но Де Браун считает, что 2026 год более реалистичен.

«Вы не хотите вносить изменения, которые никто не будет использовать, вы хотите убедиться, что это правильно», — говорит он.

«Большой интерес вызывают названия префиксов, но главное решение состоит в следующем: нужно ли вам вообще расширять систему?»

Если он когда-нибудь пройдет строгие испытания, у доктора Брауна уже есть имя для 10 ³³ в рукаве: Bundecca, основанное на латинском для 11, undecim.

B — последняя буква, не используемая в качестве префикса.

После этого у нас закончились письма.

Но действительно ли у нас заканчиваются номера?

В кодировке действительно может закончиться.

Если вы используете язык программирования JavaScript, наибольшее целое число, которое вы можете безопасно использовать в 64-битной системе, называется 2 ⁵³ -1, или 9 007 199 254 740 991.

Все, что выше, может отображаться как бесконечность.

В реальном мире названия чисел могут кончиться, но числа бесконечны, несмотря на то, что вам говорят школьные шутки о бесконечности +1.

В то время как математики разрабатывали теории бесконечности и сложения, пока они не получат более широкого согласия, у нас не закончатся числа, а просто названия для них.

Это произведение является частью серии «Все будущее» на Metro.co.uk.

От ВТО до генеральных директоров, от профессоров до футурологов, от экономистов до социальных теоретиков, от политиков до ученых, удостоенных множества наград, мы думаем, что у нас есть будущее, вдали от обреченных на гибель или простых ссылок на отчеты меньшинств.

Каждую неделю мы объясняли, что может (или не вероятно) случиться.

Свяжитесь с нами, используя хэштег #futureofeverything. Хотя серия больше не еженедельная, если вы думаете, что мы могли упустить что-то важное для будущего, свяжитесь с нами: [email protected] или [email protected]

Прочитать все истории из будущего

Получите всю необходимую информацию последние новости, приятные истории, аналитика и многое другое

Некоторые бесконечности больше других

Немногие числа вызывали больше восхищения и замешательства, чем бесконечность.Я помню, как в юном возрасте спрашивал отца, вечно ли космос существует. Он ответил, что это должно быть так, потому что, как бы далеко вы ни путешествовали в космос, вы всегда можете протянуть руку в пустоту за его пределами.

То же самое и со временем: будет ли оно длиться вечно и тянется ли оно бесконечно далеко в прошлое?

Философы и ученые боролись с этими вопросами на протяжении веков, но большую часть того времени понятие «бесконечность» не было четко определено.

Все изменилось в 19 веке, когда математики научились последовательно манипулировать бесконечностью как числом. Но эти правила преподносят много сюрпризов.

Считайте натуральные числа — 1, 2, 3 и так далее. Они продолжаются без ограничений. Существует бесконечное количество натуральных чисел. Теперь спросите, а натуральных чисел больше, чем четных? В конце концов, четные числа — 2, 4, 6 и так далее — содержатся в натуральных числах, перемежающихся с нечетными.

Заманчиво сказать, что натуральных чисел вдвое больше, чем четных.Но это неправильно.

Когда мы говорим, что два набора объектов равны, мы ставим их в соответствие друг за другом. Например, если я утверждаю, что у меня такое же количество пальцев, как и пальцев на ногах, я имею в виду, что каждому пальцу соответствует один палец на ноге, без каких-либо пальцев на ногах и на конце.

Теперь проделайте то же самое с натуральными и четными числами: соедините 1 с 2, 2 с 4, 3 с 6 и так далее. Для каждого натурального числа будет ровно одно четное число.Тот факт, что каждая серия образует бесконечный набор, означает, что наборы чисел имеют одинаковый размер , даже если один набор содержится внутри другого!

Этот результат дает определение бесконечности: бесконечный набор объектов настолько велик, что его нельзя увеличить, добавляя или удваивая его; и не уменьшается ни за счет вычитания, ни за счет уменьшения вдвое.

Это парадокс стал известен благодаря немецкому математику Давиду Гильберту (см. Видео ниже), который на лекции, прочитанной в 1924 году, предусмотрел гостиницу с бесконечным количеством комнат.Он отметил, что даже когда отель заполнен, он все равно может принять новых гостей, если каждый гость освободит свою комнату и переедет, освобождая тем самым номер 1. Это можно делать бесконечное количество раз.

Это парадокс, прославленный немецким Давидом Гильбертом в 1924 году.

Несмотря на это, было бы неправильно думать о бесконечности натуральных чисел, которую математики называют «счетным» бесконечным множеством, потому что вы можете пересчитывать элементы один за другим, как о самом большом возможном числе.

Между 1 и 2, например, лежит бесконечное количество чисел, например 3/5 и 7917/384431. Нет ограничений на количество цифр, которые мы можем добавить к числителю и знаменателю, чтобы получить больше дробей. Тем не менее вы не удивитесь, узнав, что множество всех дробей на самом деле не больше, чем множество натуральных чисел: они тоже образуют счетно бесконечное множество.

Но не все числа от 1 до 2 являются дробями: некоторые десятичные дроби (с бесконечным числом цифр после точки) не могут быть выражены дробями.Например, квадратный корень из 2 является одним из таких чисел. Это число известно как «иррациональное», потому что его нельзя выразить как отношение двух целых чисел. Лучше всего это понять, представив непрерывную линию, обозначенную натуральными числами с равным интервалом: 1, 2, 3 и так далее. Например, между 1 и 2 будет бесконечное количество точек, каждая из которых соответствует десятичному числу. Независимо от того, насколько мал интервал на этой линии и насколько вы увеличиваете его, все равно будет бесконечное количество точек, соответствующих бесконечному количеству десятичных знаков.

Оказывается, что множество всех точек на непрерывной прямой является большей бесконечностью, чем натуральные числа; математики говорят, что на прямой (и в трехмерном пространстве) есть несчетное бесконечное количество точек. Вы просто не можете сопоставить каждую точку на линии с натуральными числами во взаимно однозначном соответствии.

Итак, есть два типа бесконечности, и это не заканчивается, но я остановлюсь; Мне было выделено ограниченное количество слов для этой колонки.В заключение позвольте мне вернуться к ответу отца о космосе: бесконечно ли оно? Ну и да, и нет.

Если он непрерывен (а некоторые физики думают, что это может быть не так), то он будет содержать несчетное бесконечное количество точек. Но это не значит, что это должно продолжаться вечно. Как обнаружил Эйнштейн, он может искривляться, образуя конечный объем.

Это привело его однажды к замечанию: «Только две вещи бесконечны: вселенная и человеческая глупость, и я не уверен в первом.”

элементарной теории множеств — существует ли наивысший порядок бесконечности?

Ответ на вопрос в заголовке : «Нет»: нет высшей мощности: для любого набора его набор мощности всегда больше. Фактически, для любой коллекции наборов $ I $, если мы возьмем их объединение, а затем набор мощности результата, мы получим набор мощности, превышающий мощность любого набора в $ I $.

Ответ на вопрос в теле — да: нам нужно определение.Иерархия чисел beth ($ \ beth $) определяется трансфинитной рекурсией: во-первых, $ \ beth_0 = \ aleph_0 $ — это размер натуральных чисел. Учитывая $ \ beth_ \ alpha $, мы определяем $ \ beth _ {\ alpha + 1} $ как размер его набора степеней. Наконец, учитывая предельный порядковый номер $ \ lambda $, мы определяем $ \ beth_ \ lambda $ как верхнюю грань $ \ beth_ \ beta $ для $ \ beta <\ alpha $, то есть как размер объединения установите $ \ {\ beth_ \ beta \ mid \ beta <\ alpha \} $. (Здесь я отождествляю кардиналы с наборами ординалов, поэтому для любого кардинала $ \ kappa $ само множество $ \ kappa $ действительно имеет мощность $ \ kappa $.) Например, $ \ omega = \ omega_0 $ - наименьший (бесконечный) порядковый номер предела, а $ \ beth_ \ omega = \ sup \ {\ beth_n \ mid n \ in \ mathbb N \} = \ bigcup_n \ beth_n $.

С точки зрения этой иерархии, набор имеет размер, которого нельзя достичь, взяв повторяющиеся наборы мощности из $ \ mathbb N $, если и только если его мощность равна $ \ beth_ \ omega $ или больше: размер набора недостижим при использовании повторяющихся наборов мощности. $ \ mathbb N $, если его размер больше, чем $ \ beth_0 = | \ mathbb N | $, $ \ beth_1 = | \ mathcal P (\ mathbb N) | $, $ \ beth_2 = | \ mathcal P (\ mathcal P (\ mathbb N)) | $ и т. Д., То есть, если его размер не меньше верхней грани $ \ beth_n $ (что и есть $ \ beth_ \ omega $).п (\ mathbb N) $.

Практически любой стандартный текст по теории множеств должен иметь доказательство этого результата. Я предлагаю «Заметки по теории множеств » Мошовакиса . В книге также обсуждается совокупная иерархия $ V_ \ alpha $, к которой принадлежит множество $ V _ {\ omega + \ omega} $ из предыдущего абзаца. Эта иерархия определяется установкой $ V_0 = \ emptyset $, $ V _ {\ alpha + 1} = \ mathcal P (V_ \ alpha) $ для всех порядковых номеров $ \ alpha $ и $ V_ \ lambda = \ bigcup _ {\ beta <\ lambda} V_ \ beta $ для всех предельных порядковых номеров $ \ lambda $.\ альфа (\ mathbb N) | = \ beth_ \ alpha $. Любой набор имеет размер, ограниченный некоторым значением $ \ beth_ \ alpha $. Опять же, любой стандартный текст должен объяснять, почему это так.

За пределами числа — роль бесконечности в понимании Вселенной

Существует ли бесконечность? Неужели что-то может продолжаться бесконечно? Это древний вопрос, который имеет огромное значение для математики, физики и космологии. И все же это также вопрос, который имеет реальное значение в повседневной жизни — вопрос, с которым сталкиваются даже маленькие дети, когда они учатся считать: 1, 2, 3… 100 … 1000 … 1 миллион … самое большое число, которое вы можете придумать? Один газиллион?

Аристотель, первый зарегистрированный человек, который рассмотрел вопрос о бесконечности, различает две разновидности бесконечности: потенциальную и актуальную бесконечность. Потенциальная бесконечность характеризует бесконечную вселенную или бесконечный список — например, натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. У этих списков или пространств нет конца или границы: вы никогда не сможете достичь конца всех чисел, перечислив их, или конца бесконечной вселенной, путешествуя на космическом корабле.

Определение бесконечностей

Аристотель был относительно доволен потенциальными бесконечностями, довольствуясь тем, что они не противоречили его пониманию Вселенной. Напротив, Аристотель запретил актуальные бесконечности. Определяется как измеримый, локальный элемент, такой как плотность твердого тела, яркость света или температура объекта, который становится бесконечным в определенном месте или в определенное время. С точки зрения Аристотеля, встретить эту бесконечность локально во Вселенной было невозможно.Его единственной допустимой действительной бесконечностью было божественное — и эта философия лежала в основе западной и христианской мысли в течение нескольких тысяч лет.

Но ближе к концу XIX века математик Георг Кантор разработал более тонкий способ определения математических бесконечностей. Кантор признал, что существуют «меньшие» и «большие» типы бесконечности, и объявил счетную бесконечность малой бесконечностью. Счетную бесконечность можно сосчитать буквально — поставив во взаимно однозначное соответствие с натуральными числами.Это принимает бесконечный список натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5 и т. Д.), А также любые другие серии, которые можно считать без ограничений.

У этой идеи были забавные последствия. Например, если вы составите список всех четных чисел, у вас будет счетная бесконечность. Интуитивно вы можете подумать, что четных чисел (2, 4, 6, 8 …) вдвое меньше, чем натуральных (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 …), потому что это было бы верно для конечный список. Но когда список становится бесконечным, это уже неверно.

Этот факт впервые заметил Галилей (хотя он считал квадраты 1, 4, 9, 16 и т. Д., А не четные числа), который подумал, что это настолько странно, что заставило его задуматься о бесконечных наборах вещей. способствовать. Он думал, что в них было что-то опасно парадоксальное. Для Кантора, однако, возможность создания взаимно однозначного соответствия между набором чисел и их подмножеством была определяющей характеристикой бесконечного набора.Затем Кантор показал, что существуют и другие типы бесконечности, которые в некотором смысле бесконечно «больше», потому что их нельзя подсчитать таким образом. Одна такая бесконечность характеризуется списком всех действительных чисел. Их нельзя сосчитать; нет рецепта для их систематического перечисления. Эта бесчисленная бесконечность также называется континуумом.

Бесконечные бесконечности?

Но обнаружение этого бесконечно большего множества — настоящих чисел — не было концом истории. Кантор показал, что можно найти бесконечно большие наборы, вплоть до бесконечности: не существует максимально возможного бесконечного набора вещей.Если кто-то представит вам бесконечный набор A , вы можете создать более крупный, который не находится во взаимно однозначном соответствии с A , просто найдя набор всех возможных подмножеств A . Эта бесконечная башня бесконечностей указала на нечто, называемое абсолютной бесконечностью — недостижимую вершину башни бесконечностей.

Другой тип бесконечности возникает в теории гравитации и космологии. Общая теория относительности Эйнштейна предполагает, что расширяющаяся Вселенная (такой, какой мы видим нашу) возникла в то время в конечном прошлом, когда ее плотность была бесконечной — Большой взрыв.Теория Эйнштейна также предсказывает, что если вы упадете в черную дыру, вы столкнетесь с бесконечной плотностью в центре. Эти бесконечности, если они действительно существуют, были бы настоящими бесконечностями. Люди относятся к этим бесконечностям по-разному.

Большой хруст и черные дыры

Космологи, пришедшие из физики элементарных частиц и интересующиеся тем, что теория струн говорит о начале Вселенной, склонны считать, что эти бесконечности не реальны, а скорее всего лишь артефакт незавершенного характера теории.Есть и другие, кто думает, что изначальная бесконечность в начале Вселенной играет очень важную роль в структуре физики. Но даже если эти бесконечности — артефакт, плотность этих ложных бесконечностей ошеломляюще высока: в 10 ⁹⁶ раз больше, чем у воды *. Для всех практических целей это настолько высоко, что нам понадобится описание влияния квантовой теории на характер пространства, времени и гравитации, чтобы понять, что происходит.

Что-то очень странное произойдет, если мы предположим, что Вселенная в конце концов перестанет расширяться и сожмется обратно в бесконечность, большой хруст.Этот большой хруст мог быть неодновременным, потому что одни части Вселенной, где есть галактики и так далее, более плотные, чем другие. Места с большей плотностью столкнутся с будущими бесконечностями раньше, чем регионы с низкой плотностью. Если бы мы находились в той части Вселенной, в которой будущее бесконечность сильно отсрочено или вообще отсутствует, то мы могли бы оглянуться назад и увидеть конец Вселенной, происходящий в других местах — мы бы увидели нечто бесконечное. Вы можете увидеть доказательства того, что пространство и время подходят к концу в другом месте.

Трудно точно предсказать, что вы увидите, если где-то возникнет настоящая бесконечность. То, как наша Вселенная понимается в настоящее время, предполагает любопытный защитный механизм. Простая интерпретация вещей предполагает, что в центре каждой черной дыры есть бесконечная плотность, которая подобна бесконечности в конце Вселенной.

Но черная дыра создает горизонт вокруг этого явления: даже свет не может покинуть ее окрестности. Итак, мы изолированы, мы не можем видеть, что происходит в тех местах, где плотность кажется бесконечной.И бесконечность не может повлиять на нас. Эти горизонты защищают нас от последствий мест, где плотность может быть бесконечной, и мешают нам видеть, что там происходит, если, конечно, мы не находимся внутри черной дыры.

Нет дальше

Другой вопрос, является ли наша Вселенная пространственно конечной или бесконечной. Я думаю, мы никогда не узнаем. Он может быть конечным, но произвольно большого размера. Но для многих людей идея конечной вселенной сразу же поднимает вопрос о том, что находится за ее пределами.Нет запредельного — вселенная — это все, что есть.

Чтобы понять это, давайте представим двумерные вселенные, потому что их легче представить. Если мы возьмем лист бумаги формата А4, мы увидим, что у него есть край, так как же могло случиться, что конечная вселенная не имеет края? Но дело в том, что листок плоский. Если мы подумаем о замкнутой двумерной поверхности, которая изогнута, как поверхность сферы, то площадь сферы конечна: вам нужно только конечное количество краски, чтобы нарисовать ее.Но если вы пройдетесь по нему, в отличие от плоского листа бумаги, вы никогда не встретите края. Таким образом, искривленные пространства могут быть конечными, но не иметь границ или краев.

Чтобы понять расширяющуюся двумерную Вселенную, давайте сначала представим бесконечный случай, когда Вселенная в среднем выглядит одинаково, куда бы вы ни пошли. Тогда, где бы вы ни стояли и не оглядывались вокруг, кажется, что вселенная расширяется от вас в центре, потому что каждое место похоже на центр. Для конечной сферической Вселенной представьте сферу как воздушный шар с отмеченными на поверхности галактиками.Когда вы начинаете его надувать, галактики начинают удаляться друг от друга. Где бы вы ни стояли на поверхности воздушного шара, вы бы увидели, как все остальные галактики расширяются от вас по мере расширения резины. Центр расширения находится не на поверхности, а в другом измерении, в данном случае в третьем измерении. Итак, наша трехмерная Вселенная, если она конечна и имеет положительную кривизну, ведет себя так, как если бы она была трехмерной поверхностью воображаемого четырехмерного шара.

Тайны уравнений

Эйнштейн сказал нам, что геометрия пространства определяется плотностью вещества в нем.Скорее как резиновый батут — если положить на батут материал, он деформирует кривизну. Если в пространстве много материала, это вызывает огромную депрессию, и пространство закрывается. Итак, Вселенная с высокой плотностью требует сферической геометрии и конечного объема. Но если у вас относительно мало материала, который может деформировать пространство, вы получите пространство с отрицательной кривизной, имеющее форму седла или картофельного чипса. Такое отрицательно искривленное пространство можно продолжать растягивать и расширять бесконечно.Вселенная с низкой плотностью, если она имеет простую геометрию, будет иметь бесконечный размер и объем. Но если он имеет более экзотическую топологию, например тор, он также может иметь конечный объем.

Одна из загадок, связанных с уравнениями Эйнштейна, заключается в том, что они рассказывают вам, как можно вычислить геометрию, исходя из распределения материи, но его уравнения ничего не говорят о топологии Вселенной. Может быть, более глубокая теория квантовой гравитации найдет что сказать по этому поводу.

Версия этой статьи впервые появилась в журнале Plus Magazine , бесплатном онлайн-журнале по математике, издаваемом Университетом и ориентированном на широкую аудиторию. Эта версия впервые появилась в CAM — журнале Cambridge Alumni Magazine, выпуск 74. Узнайте, как получить CAM.

Об авторе

Джон Д. Барроу, FRS, профессор математических наук и научный сотрудник Клэр Холл. Он является директором математического проекта Millennium Mathematics Project, частью которого является Plus. Его последняя книга — 100 основных вещей, которые вы не знали о математике и искусстве (Bodley Head).

Исправление (22.05.15)

* При переносе текста этой статьи из печатного издания CAM в Интернет мы случайно изменили 10 ⁹⁶ на 1096.Спасибо внимательным читателям, которые заметили это и предупредили нас о величине ошибки.

в Googols и Google, Googolplex и Infinity: правда о больших числах

Когда я учился в старшей школе, я прочитал книгу под названием Infinity: Beyond the Beyond the Beyond . Я мало что помню об этом, но никогда не забуду название. Концепция бесконечности в ее … ну, бесконечности … может надолго занять мой ум. И идея выйти «за пределы запредельного» — а затем за пределы этого! — давала более вкусную пищу для размышлений.Когда я выступаю в школе, я иногда думаю об этом названии и леденце бесконечности, когда я был на прошлой неделе в Уэст-Честере, штат Пенсильвания, и кто-то спросил: «Какое наибольшее число?» Я часто слышу этот вопрос. Разговор обычно происходит примерно так:

Ребенок: Какое наибольшее число во всем мире?

Дэвид: Вы думаете, что существует такое понятие, как наибольшее число?

Аудитория: половина «Да», половина «Нет»

Дэвид: Кто-нибудь, пожалуйста, скажите мне, какое, по вашему мнению, наибольшее число.

Дети, разные: миллиард, триллион, квадриллион, квинтиллион, гугол, гуголплекс и т. Д.

Дэвид: Погоди. Предположим, вы думаете, что «квинтиллион» — это самое большое число. Тогда как насчет «квинтиллиона и одного»? Разве не больше? А если это самый большой, как насчет «квинтиллиона два» — даже больше, не так ли?

Это обычно приводит к торжествующему возражению об огромном количестве, знакомом многим детям (гораздо менее знакомом их родителям и учителям):

Дитя: Гугол должен быть самым большим!

Дэвид: Что такое гугол?

Многие дети знают, что «гугол» — это название очень большого числа — единицы, за которой следует сотня нулей.Это захватывающая концепция. В моей книге G от слова Googol: A Math Alphabet Book я рассказываю историю о том, как «гугол» получил свое название от девятилетнего мальчика. Конечно, есть соблазн назвать googol «самым большим числом», но это не повод для начала.

Я: Если вы думаете, что гугол — самое большое число, то как насчет гугол-и-один? Или два гугол? Или гугол гугол?

Почти неизбежно здесь кто-то предлагает еще большее число, «гуголплекс». Это правда, что слово «гуголплекс» было придумано для обозначения единицы, за которой следуют нули гугол.Это больше, чем жалкий гугол! Googolplex вполне может обозначать наибольшее число, названное одним словом, но, конечно, это не делает его наибольшим числом. В последней попытке удержать надежду на то, что действительно существует такая вещь, как наибольшее число…

Дитя: Бесконечность! Нет ничего больше бесконечности!

Достаточно верно, но нет ничего больше бесконечности: бесконечность — это не число. Это означает бесконечность. Число обозначает конкретную сумму.

Итак, наконец, мы пришли к единому мнению: не существует такого понятия, как наибольшее число. Тем не менее, такие большие числа, как гугол или гуголплекс, продолжают дразнить, и, что ж, они должны. Для меня самое захватывающее в googol — это то, насколько он огромен на самом деле. Написание этих сотен нулей, хотя и утомительно, займет всего пару минут, но представленное количество, как я сказал в G, для Googol , «больше, чем количество волос на голове каждого в мире, больше чем количество травинок на всех лужайках мира, больше, чем количество песчинок на всех пляжах мира — даже больше, чем количество атомов во Вселенной.”

Приблизительное количество атомов — это единица, за которой следуют 72 нуля (десять в 72-й степени, но я не могу использовать показатели в этом блоге). Предположим, что астрофизики, оценившие количество атомов, далеки от этого. А пока давайте представим, что фактическое (хотя и неизвестное) количество атомов в сто раз превышает заявленное. Таким образом, это будет единица, за которой следует 74 нуля — все же намного меньше, чем гугол.

Число «гугол» на самом деле бесполезно — разве что как пища для голодного математического ума.И это особенно питательное угощение для молодых голодных умов. Фактически, ребенок, обладающий именно таким голодным молодым умом, поправил меня, когда я однажды сказал: «Нигде нет ничего гугола». Мальчик возразил: «Чисел больше, чем гугол. Число чисел бесконечно ». Прав он был! Теперь я модифицирую утверждение: «Нет гугола по любому физическому объекту».

Я менее восторжен по поводу того, что было высказано шестиклассниками в классе, которые прислали мне пачку писем.У всех была одна и та же основная тема, отраженная в этой:

Уважаемый г-н Шварц,

Как узнать, сколько волос на голове у каждого человека в мире? Вы, наверное, не встретили всех людей в мире. Даже если у вас есть, младенцы рождаются каждую минуту. Люди теряют волосы каждый день!

Здесь нет аргументов, но, к сожалению, этот класс, похоже, не хорошо понимал важность (и законность) оценки.

Теперь, когда господствует некая многомиллиардная онлайн-компания, мне необходимо включить в любое обсуждение гугола следующее важное неравенство, чтобы не возникла путаница:

Интересно отметить, что элемент справа был результатом орфографической ошибки.